初中数学专项练习《不等式与不等式组》50道计算题包含答案
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一、选择题（共10题，每题3分，共计30分） 1. 下列选项中，哪一个是关于x的不等式？ A. x + 2 < 4 B. y - z = 5 C. a > b D. w / 3 ≤ w
如果a > b且c > d，那么以下哪个结论是正确的？ A. ac > bc B. ad > bd C. c - a > c - b D. d/a > d/b
在-2, 1, 3这三个数中，任意两数的差都不能构成一个大于等于零的数，这句话对吗？ A. 对 B. 错
已知x是一个正整数，并且满足条件x > 7，那么x的最小值是多少？ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
将不等式2x + 3 > 7移项并合并同类项后得到的结果是： A. x > 2 B. x > 1 C. x > 5 D. x > 7
设a, b, c是非负实数，且满足关系式a + b + c = 1，那么以下哪些是不一定成立的？ A. abc ≥ 0 B. a + b ≥ 2 C. a(1 - a) ≥ 0 D. (ab)^2 ≥ 0
若不等式|x + 1| < 3的解集不是集合{x | 0 <= x <= 4}的真子集，则x的范围是： A. (-∞, 0] U [4, ∞) B. (-∞, 2] U [2, ∞) C. [-4, 0) U (4, ∞) D. [-4, 0) U [4, ∞)
已知方程组 [ egin{cases} 2x + y = 5 x - 3y = 1 end{cases} ] 它的解满足的条件是x > 0且y > 0，那么符合条件的整数解有多少个？ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
设f(x) = ax^2 + bx + c，其中a, b, c为常数，如果对于任意的x属于R，有f(x) >= 0恒成立，那么以下哪个结论不正确？ A. a > 0 B. b^2 - 4ac <= 0 C. f(0) = c >= 0 D. f(-b/2a) = 0
设m, n是两个不相等的实数，且满足条件m² + mn + n² = 2，那么m + n的取值范围是： A. (-∞, -2) ∪ (2, ∞) B. (-2, -1) ∪ (1, 2) C. (-∞, -1) ∪ (1, ∞) D. (-∞, -1] ∪ [1, ∞)
二、填空题（共10题，每题3分，共计30分） 11. 不等式3x + 2 > 5x + 1的解集是__。 12. 若不等式组 [ egin{cases} 2x + 3y < 6 x + y ≥ 1 end{cases} ] 的解集中存在点P使得AP的长度最小，其中A是原点，那么P点的坐标是__。 13. 不等式|2x - 1| ≤ 3的解集是____。 14. 已知a > b > 0，那么a/b的取值范围是___。 15. 不等式x² - 2x + 1 ≤ 0的解集是____。 16. 设函数f(x) = ax + b，其中a, b为实数，且满足f(1) ≥ 2且f(-1) ≤ -1，那么a和b需要满足的关系式是___。 17. 不等式x² - 4x + 3 < 0的解集是__。 18. 设不等式组的解集为{x | x < t}，其中t是实数，那么这个不等式组是__。 19. 不等式|x + 1| ≥ 3的解集是___。 20. 不等式x² - 3x + 2 ≥ 0的最大整数根是______。
三、解答题（共30分） 21. （10分）证明不等式(frac{x+1}{x-1}>2)对于所有x>1都成立。 22. （10分）解不等式组 [ egin{cases} 2x + 3y ≤ 6 x - y ≥ 1 end{cases} ] 并画出其可行域。 23. （10分）已知a, b, c是实数，且满足条件|a| + |b| = |c|，证明：无论a, b, c为何值，总有a² + b² ≥ c²。
以下是各题目的参考答案及解析：
一、选择题 1. A 2. C 3. B 4. D 5. B 6. B 7. D 8. A 9. D 10. C
二、填空题 11. {x | x < 1} 12. (3/2, 1/2) 13. {x | -1 ≤ x ≤ 2} 14. (0, ∞) 15. {x | 1 ≤ x ≤ 2} 16. a > 1 and b ≤ -2 or a ≤ -2 and b ≥ 1 17. {x | 1 < x < 3} 18. {x | x < t} 19. {x | x ≤ -4或x ≥ 2} 20. 2
三、解答题 21. 证明：令f(x) = (frac{x+1}{x-1})，我们可以通过分析f(x)在x > 1时的行为来证明它总是大于2。
首先，我们可以简化f(x): [ f(x) = frac{x+1}{x-1} = 1 + frac{2}{x-1} ]
现在考虑当x > 1时，(frac{2}{x-1})的性质。由于x > 1，我们有(0 < frac{2}{x-1} < 2)。这意味着(1 + frac{2}{x-1} > 1 + 0 = 1)，即f(x) > 1。
接下来，我们需要比较f(x)和2的大小。由于(1 < f(x) < 2)，只需要找到一个中间值就可以确定它们的大小关系了。实际上，我们可以选择(sqrt{2})作为这样的中间值，因为(1 < sqrt{2} < 2)。
因此，我们有(1 < f(x) < sqrt{2})，这说明f(x)不可能达到等于2的状态。所以，对于所有的x > 1，我们有(f(x) > 2)。
我们证明了对于所有x > 1，不等式(frac{x+1}{x-1}>2)都成立。
然后分别解这两个不等式： [ egin{aligned} y ≤ frac{2}{3} - frac{x}{3} &Rightarrow y + x/3 ≤ 2/3 y ≥ frac{1}{2} - frac{x}{2} &Rightarrow y - x/2 ≥ 1/2 end{aligned} ]
为了找到可行域，我们需要在这些线段的上方绘制区域，这些线段由不等式的交点决定。我们可以通过解这两个不等式来找到它们的交点： [ egin{aligned} y + x/3 ≤ 2/3 &Leftrightarrow y ≤ -frac{x}{3} + frac{2}{3} y - x/2 ≥ 1/2 &Leftrightarrow y ≥ frac{x}{2} - frac{1}{2} end{aligned} ]
现在我们将这两条直线相加以找到它们的交点： [ left( -frac{x}{3} + frac{2}{3} ight) + left( frac{x}{2} - frac{1}{2} ight) = 0 ] 解这个方程得到： [ frac{x}{3} + frac{x}{2} = 1 Rightarrow x = 6 ]
现在我们知道交点的横坐标是6，我们可以用第一个不等式来找出纵坐标的范围： [ y ≤ -frac{6}{3} + frac{2}{3} = -frac{4}{3} ]
所以，交点是(6, -4/3)。
现在我们已经有了可行域的边界，我们可以画出可行域。首先，我们需要找出可行域的上界，这是两条直线的最大值y： [ max left( -frac{x}{3} + frac{2}{3}, frac{x}{2} - frac{1}{2} ight) ]
由于x = 6时，y取得最大值，所以我们使用x = 6来求得y的最大值： [ max left( -frac{6}{3} + frac{2}{3}, frac{6}{2} - frac{1}{2} ight) = max left( -frac{4}{3}, 2 ight) = 2 ]
所以，可行域的上界是y = 2。
最后，我们将可行域的所有部分连接起来，包括下界的左半部分（y ≤ -4/3的部分），上界（y = 2的部分）以及右半部分（y ≥ -4/3的部分）。这样我们就得到了不等式组的解集： [ {(x, y) | y ≤ -frac{4}{3} ext{ and } y ≥ frac{1}{2} - frac{x}{2} } ]
这个解集可以用图形表示为一个三角形，底边平行于x轴，顶点位于(6, -4/3)处，另一个顶点位于原点上方并与y = 2的线段相切。
证明：根据题目中的条件|a| + |b| = |c|，我们可以考虑四种情况：
a 和 b同号：在这种情况下，|a| = a和|b| = b，所以|c| = |ab| = ab。 如果我们假设a和b都是正的，那么ab也是正的，这意味着c必须也是正的。 由于c是正的，我们可以得出a² + b² ≥ ab = |c|。
a 和 b异号：在这种情况下，|a| = -a和|b| = -b，所以|c| = |ab| = ab。 这与第一种情况的逻辑相同，因为我们已经证明了a² + b² ≥ ab。
a 为零但 b不为零：在这种情况下，|a| = 0和|b| = b，所以|c| = |b| = b。 这意味着a² = 0，所以a² + b² ≥ b²。
b 为零但 a不为零：这种情况类似于第三种情况，我们有a² + b² ≥ a²。
无论a, b, c的具体数值如何，我们都能够证明a² + b² ≥ |c|。这完成了我们的证明。
一、选择题（共10题，每题3分，共计30分） 1. 下列选项中，哪一个是关于x的不等式？ A. x + 2 < 4 B. y - z = 5 C. a > b D. w / 3 ≤ w
如果a > b且c > d，那么以下哪个结论是正确的？ A. ac > bc B. ad > bd C. c - a > c - b D. d/a > d/b
在-2, 1, 3这三个数中，任意两数的差都不能构成一个大于等于零的数，这句话对吗？ A. 对 B. 错
已知x是一个正整数，并且满足条件x > 7，那么x的最小值是多少？ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
将不等式2x + 3 > 7移项并合并同类项后得到的结果是： A. x > 2 B. x > 1 C. x > 5 D. x > 7
设a, b, c是非负实数，且满足关系式a + b + c = 1，那么以下哪些是不一定成立的？ A. abc ≥ 0 B. a + b ≥ 2 C. a(1 - a) ≥ 0 D. (ab)^2 ≥ 0
若不等式|x + 1| < 3的解集不是集合{x | 0 <= x <= 4}的真子集，则x的范围是： A. (-∞, 0] U [4, ∞) B. (-∞, 2] U [2, ∞) C. [-4, 0) U (4, ∞) D. [-4, 0) U [4, ∞)
已知方程组 [ egin{cases} 2x + y = 5 x - 3y = 1 end{cases} ] 它的解满足的条件是x > 0且y > 0，那么符合条件的整数解有多少个？ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
设f(x) = ax^2 + bx + c，其中a, b, c为常数，如果对于任意的x属于R，有f(x) >= 0恒成立，那么以下哪个结论不正确？ A. a > 0 B. b^2 - 4ac <= 0 C. f(0) = c >= 0 D. f(-b/2a) = 0
设m, n是两个不相等的实数，且满足条件m² + mn + n² = 2，那么m + n的取值范围是： A. (-∞, -2) ∪ (2, ∞) B. (-2, -1) ∪ (1, 2) C. (-∞, -1) ∪ (1, ∞) D. (-∞, -1] ∪ [1, ∞)
二、填空题（共10题，每题3分，共计30分） 11. 不等式3x + 2 > 5x + 1的解集是__。 12. 若不等式组 [ egin{cases} 2x + 3y < 6 x + y ≥ 1 end{cases} ] 的解集中存在点P使得AP的长度最小，其中A是原点，那么P点的坐标是__。 13. 不等式|2x - 1| ≤ 3的解集是____。 14. 已知a > b > 0，那么a/b的取值范围是___。 15. 不等式x² - 2x + 1 ≤ 0的解集是____。 16. 设函数f(x) = ax + b，其中a, b为实数，且满足f(1) ≥ 2且f(-1) ≤ -1，那么a和b需要满足的关系式是___。 17. 不等式x² - 4x + 3 < 0的解集是__。 18. 设不等式组的解集为{x | x < t}，其中t是实数，那么这个不等式组是__。 19. 不等式|x + 1| ≥ 3的解集是___。 20. 不等式x² - 3x + 2 ≥ 0的最大整数根是______。
三、解答题（共30分） 21. （10分）证明不等式(frac{x+1}{x-1}>2)对于所有x>1都成立。 22. （10分）解不等式组 [ egin{cases} 2x + 3y ≤ 6 x - y ≥ 1 end{cases} ] 并画出其可行域。 23. （10分）已知a, b, c是实数，且满足条件|a| + |b| = |c|，证明：无论a, b, c为何值，总有a² + b² ≥ c²。
以下是各题目的参考答案及解析：
一、选择题 1. A 2. C 3. B 4. D 5. B 6. B 7. D 8. A 9. D 10. C
二、填空题 11. {x | x < 1} 12. (3/2, 1/2) 13. {x | -1 ≤ x ≤ 2} 14. (0, ∞) 15. {x | 1 ≤ x ≤ 2} 16. a > 1 and b ≤ -2 or a ≤ -2 and b ≥ 1 17. {x | 1 < x < 3} 18. {x | x < t} 19. {x | x ≤ -4或x ≥ 2} 20. 2
三、解答题 21. 证明：令f(x) = (frac{x+1}{x-1})，我们可以通过分析f(x)在x > 1时的行为来证明它总是大于2。
首先，我们可以简化f(x): [ f(x) = frac{x+1}{x-1} = 1 + frac{2}{x-1} ]
现在考虑当x > 1时，(frac{2}{x-1})的性质。由于x > 1，我们有(0 < frac{2}{x-1} < 2)。这意味着(1 + frac{2}{x-1} > 1 + 0 = 1)，即f(x) > 1。
接下来，我们需要比较f(x)和2的大小。由于(1 < f(x) < 2)，只需要找到一个中间值就可以确定它们的大小关系了。实际上，我们可以选择(sqrt{2})作为这样的中间值，因为(1 < sqrt{2} < 2)。
因此，我们有(1 < f(x) < sqrt{2})，这说明f(x)不可能达到等于2的状态。所以，对于所有的x > 1，我们有(f(x) > 2)。
我们证明了对于所有x > 1，不等式(frac{x+1}{x-1}>2)都成立。
然后分别解这两个不等式： [ egin{aligned} y ≤ frac{2}{3} - frac{x}{3} &Rightarrow y + x/3 ≤ 2/3 y ≥ frac{1}{2} - frac{x}{2} &Rightarrow y - x/2 ≥ 1/2 end{aligned} ]
为了找到可行域，我们需要在这些线段的上方绘制区域，这些线段由不等式的交点决定。我们可以通过解这两个不等式来找到它们的交点： [ egin{aligned} y + x/3 ≤ 2/3 &Leftrightarrow y ≤ -frac{x}{3} + frac{2}{3} y - x/2 ≥ 1/2 &Leftrightarrow y ≥ frac{x}{2} - frac{1}{2} end{aligned} ]
现在我们将这两条直线相加以找到它们的交点： [ left( -frac{x}{3} + frac{2}{3} ight) + left( frac{x}{2} - frac{1}{2} ight) = 0 ] 解这个方程得到： [ frac{x}{3} + frac{x}{2} = 1 Rightarrow x = 6 ]
现在我们知道交点的横坐标是6，我们可以用第一个不等式来找出纵坐标的范围： [ y ≤ -frac{6}{3} + frac{2}{3} = -frac{4}{3} ]
所以，交点是(6, -4/3)。
现在我们已经有了可行域的边界，我们可以画出可行域。首先，我们需要找出可行域的上界，这是两条直线的最大值y： [ max left( -frac{x}{3} + frac{2}{3}, frac{x}{2} - frac{1}{2} ight) ]
由于x = 6时，y取得最大值，所以我们使用x = 6来求得y的最大值： [ max left( -frac{6}{3} + frac{2}{3}, frac{6}{2} - frac{1}{2} ight) = max left( -frac{4}{3}, 2 ight) = 2 ]
所以，可行域的上界是y = 2。
最后，我们将可行域的所有部分连接起来，包括下界的左半部分（y ≤ -4/3的部分），上界（y = 2的部分）以及右半部分（y ≥ -4/3的部分）。这样我们就得到了不等式组的解集： [ {(x, y) | y ≤ -frac{4}{3} ext{ and } y ≥ frac{1}{2} - frac{x}{2} } ]
这个解集可以用图形表示为一个三角形，底边平行于x轴，顶点位于(6, -4/3)处，另一个顶点位于原点上方并与y = 2的线段相切。
证明：根据题目中的条件|a| + |b| = |c|，我们可以考虑四种情况：
a 和 b同号：在这种情况下，|a| = a和|b| = b，所以|c| = |ab| = ab。 如果我们假设a和b都是正的，那么ab也是正的，这意味着c必须也是正的。 由于c是正的，我们可以得出a² + b² ≥ ab = |c|。
a 和 b异号：在这种情况下，|a| = -a和|b| = -b，所以|c| = |ab| = ab。 这与第一种情况的逻辑相同，因为我们已经证明了a² + b² ≥ ab。
a 为零但 b不为零：在这种情况下，|a| = 0和|b| = b，所以|c| = |b| = b。 这意味着a² = 0，所以a² + b² ≥ b²。
b 为零但 a不为零：这种情况类似于第三种情况，我们有a² + b² ≥ a²。
无论a, b, c的具体数值如何，我们都能够证明a² + b² ≥ |c|。这完成了我们的证明。