数学人教版七年级上册数学人教版七年级上册作业设计
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下列算式中，计算结果等于2的是： A. (4 - 6) B. (-4 + 8) C. (frac{5}{7} × frac{7}{9}) D. (frac{1}{3} ÷ frac{1}{6})
在一个长方形中剪去一个小矩形后得到一个新的图形，这个新图形的周长是： A. 长方形的周长减去小矩形的两条边之和 B. 长方形的周长加上小矩形的两条边之和 C. 长方形的周长加或减去小矩形的两条边之和 D. 长方形的周长乘以小矩形的面积
如果a, b都是正整数，且满足条件(ab=5)，那么a+b的最大值是： A. 2 B. 5 C. 6 D. 无法确定
将一张正方形的纸对折两次后展开，如果得到的折痕互相平行或者重合，那么这张正方形的纸至少有以下哪几种折叠方法？ A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 以上都不正确
小明在做一个实验时，需要将一根绳子分成两段，其中一段的长度是另一段的(frac{1}{3})倍，设第一段绳子的长度为x米，则第二段绳子的长度为： A. (frac{1}{3} x)米 B. (x - frac{2}{3} x)米 C. (x + frac{2}{3} x)米 D. (2x)米
如图所示，ABCD是一个梯形，E是AB的中点，F是BC的中点，G是CD的中点，连接EG、FG，那么三角形EFG的形状是： A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
有甲乙两个水池，已知甲池中有水40吨，乙池中的水比甲池多20%，那么乙池中有水多少吨？ A. 48吨 B. 50吨 C. 52吨 D. 无法确定
关于方程(ax^2 + bx + c = 0)，以下哪个说法是不正确的？ A. a不能为零 B. 当ac < 0时，方程有两个不等的实根 C. b可以为任意实数 D. 方程总有解
若(m > n)，则下列不等式成立的是： A. (3m + 2n > m + 3n) B. (mn > m + n) C. (m - n > n - m) D. (m² + n² > mn)
设(y=frac{x-1}{x+1})，当(x)为何值时，(y)的值为负？ A. 所有大于-1且小于1的实数 B. 所有大于1或小于-1的实数 C. 所有大于-1的实数 D. 所有小于1的实数
若(a, b, c)为实数，且满足等式((a+b)^2+(c-1)^2=(a-b)^2+(c+1)^2)，则(a+c)的最小值为___。
把一张圆形的纸片对折一次，再沿一条直径所在的直线剪开，可以得到两个相同的半圆形纸片。如果其中一个半圆形纸片的半径是r厘米，那么另一个半圆形纸片的周长是___厘米。
有一个四位数abcd，其中d不为0，且满足关系式(a + d = b + c)。如果这个四位数的各位数字都相同，那么这个四位数是___。
对于任意的自然数n，定义一种运算“⊕”如下：(n ⊕ 1 = n + 1)，并规定(n ⊕ (k+1) = (n ⊕ k) + k)，那么(5 ⊕ 5)的结果是___。
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高线，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，那么∠ADE与∠EDC的关系是___。
用简便方法计算：(2019^2 - 2018×2020)。
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，求证：OA·OC = OB·OD。
某班共有学生45名，在一次考试中，成绩优秀的学生占全班人数的(frac{2}{5})，及格的学生占剩下人数的(frac{1}{3})，不及格的人数是多少？
有一列数按照一定的规律排列成(1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5)……，根据这个规律，写出前2019个数中奇数项的总和。
A
0
相等
原式= 2019^2 - (2019 - 1)(2019 + 1) = 2019^2 - (2019^2 - 1) = 2019^2 - 2019^2 + 1 = 1
证明：在四边形ABCD中，因为AC和BD是对角线，所以它们被分为一组共边的四部分。
设AO = a，BO = b，CO = c，DO = d。
由于AO + CO = BO + DO，我们可以得出a + c = b + d。
现在考虑四边形ABCD的内接圆，它的半径R可以通过勾股定理来表示：
R^2 = OA^2 + OC^2 = AC^2 - AB^2 = AD^2 = BD^2 - BC^2 = OD^2 + OB^2
因此，我们得到了等式：R^2 = (a + c)^2 = (b + d)^2
简化这些表达式，我们得到：a + c = b + d。这与我们已经知道的事实一致，即a + c = b + d。
现在我们知道OA·OC = ac，OB·OD = bd。但是因为我们已经证明了a + c = b + d，这说明ac = bd，所以OA·OC = OB·OD。
我们证明了OA·OC = OB·OD。
根据题目信息，我们可以逐步计算出不及格的人数。
首先，成绩优秀的同学占总人数的(frac{2}{5})，这意味着剩下的学生占总人数的(frac{3}{5})。
接下来，及格的同学占剩余人数的(frac{1}{3})，这意味着不及格的同学占总人数的(frac{2}{3})。
最后，我们需要计算不及格的人数占总人数的比例。
不及格的人数比例 = (frac{2}{5} imes frac{2}{3}) = (frac{4}{15})
不及格的人数 = 总人数 * 不及格的人数比例 = 45 * (frac{4}{15}) = 3 * 45 = 135
因此，不及格的人数是135人。
这一系列数遵循的规律是每个新的奇数项重复它前面的偶数项的次数，直到下一个奇数项为止。
为了找到前2019个数中奇数项的总和，我们需要确定有多少个奇数项以及它们分别是多少。
第一个奇数项是第1个数，第二个奇数项是第3个数，依此类推，第2019个数将是奇数项。
奇数项的数量将是奇数个，因为第2019个数本身就是奇数项。
让我们找出奇数项的数量和它们的数值：
我们可以看到，从第1个奇数项开始，每一个奇数项的数值都增加1，而每次重复的次数也增加1。
如果我们继续这个模式到第2019个数，我们会发现：
现在我们来计算前2019个数中奇数项的总和：
奇数项的总和 = 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + … + 2019 = 1 + (2 + 19 + 37 + ... + 2019) = 1 + [2 + (19 + 18)] + (37 + 36 + 35 + ... + 32) + ... + (2019 + 2018 + ... + 2010) = 1 + [(2 + 19) × 10] + [(37 + 36) × 10] + ... + [(2019 + 2018) × 10] = 1 + 20 × 10 + 36 × 10 + ... + 4036 × 10 = 1 + 200 × 100 + 4036 × 10 = 1 + 2000 + 40360 = 42361
因此，前2019个数中奇数项的总和是42361。
证明：我们需要构造这样的质数p, q, r，使得pq + pr + pqr = N。我们将通过归纳法来证明这一点。
首先，对于最小的正整数N = 1，我们有质数2, 3, 5，使得2 × 3 + 3 × 5 + 2 × 3 × 5 = 1。这是我们的基础情况。
假设对于某个特定的正整数M，我们可以找到这样的质数p, q, r，使得pq + pr + pqr = M。
我们现在要证明对于M + 1也有同样的结论。
我们可以尝试将M分解为一个质数的三次幂的形式，即M = p^3，其中p是一个质数。
然后，我们取q = p，这样我们就有了两个质数p和q，使得pq = p^2 = M。
接下来，我们选择第三个质数r，使得r既不是p也不是q的因数。这是因为如果r也是p或q的因数，那么pr或qr将会包含质因子p或q的多余副本，这将导致pq + pr + pqr > M + 1。
既然r不是一个质数的三次幂，它必须能够被至少一个质数整除，而这个质数不是p也不是q。我们选择这样一个质数作为r。
在这种情况下，我们有：
pq + pr + pqr = M + 1 + M + 1 = M + 2
这就是我们所需要的，因为它表明了对于任何正整数M，都可以找到这样的质数p, q, r，使得pq + pr + pqr = M + 2。
结合基础情况和归纳步骤，我们证明了对于所有的正整数N，都存在三个不同的质数p, q, r，使得pq + pr + pqr = N。
A. (4 - 6) = 2 - 4 = -2 B. (-4 + 8) = -4 + 8 = 4
显然，B的计算结果是4，符合题目要求。因此，答案是B。
在一个长方形中剪去一个小矩形后，新图形的周长取决于剪切的位置和方式。如果剪去的矩形位于一角，那么新图形的周长会是长方形的周长减去小矩形的两条边之和；如果剪去的矩形位于中间，那么新图形的周长会是长方形的周长加上小矩形的两条边之和。但题目没有明确剪切的细节，所以我们无法给出唯一确定的答案。因此，答案是C。
根据题目给出的条件(ab=5)，我们要找到a + b的最大值。由于a和b都是正整数，且a, b都不能为0（否则ab不可能等于5），我们可以从小到大依次尝试可能的组合。
当a=1时，b=5，此时a + b = 6。
我们可以看到，无论a取何值，b都必须与之配合才能使ab=5，而在这个过程中，我们不能让a + b超过6。因此，a + b的最大值是6，但由于a, b都是正整数，实际上只能达到6。所以，答案是A。
将一张正方形的纸对折两次后展开，如果得到的折痕互相平行或者重合，那么有两种可能的情况：一是第一次对折沿着一条轴对称的边进行，二是第二次对折沿着另一条轴对称的边进行。这两种情况下，都会产生互相垂直的折痕。因此，只需要将正方形沿着其对称轴对折两次，就可以实现要求的折叠效果。因此，答案是C。
根据题目描述，第一段绳子的长度为x米，第二段绳子的长度应该为x米的(frac{1}{3})倍，即(frac{x}{3})米。所以，答案是A。
在图中，由于E是AB的中点，F是BC的中点，G是CD的中点，我们可以知道三角形EFG的三条边分别对应着长方形ABCD的相应边的一半。由于长方形ABCD的四边相等，因此三角形EFG的三条边也相等，这就构成了等腰三角形的特征。因此，答案是A。
已知甲池的水量为40吨，乙池的水量比甲池多20%，即增加了40吨的20%，也就是增加了8吨。因此，乙池的水量是40吨 + 8吨 = 48吨。所以，答案是A。
对于方程(ax^2 + bx + c = 0)来说，只有当判别式(b^2 - 4ac)的值大于或等于0时，方程才有实根。因此，只要保证(b^2 - 4ac)的值非负，方程就有解。至于a是否可以为零，只需注意到如果a=0，方程就会变成(bx + c = 0)的形式，这仍然是二次方程的形式。因此，a可以为零。同样地，b可以为任意实数，因为这并不影响方程的形式。至于ac的符号，如果ac<0，那么(b^2 - 4ac)的值必然是非负的，因为平方操作总是会使结果变为非负。因此，无论b为何值，方程都会有解。答案是不正确的选项是C。
对于选项A，我们可以通过比较两边的大小来判断：
(3m + 2n > m + 3n)
移项得：
(3m - m > 3n - 2n)
合并同类项得：
(2m > n)
由于(m > n)，因此上述不等式确实是成立的。因此，答案是A。
对于函数(y=frac{x-1}{x+1})，我们需要找到使y值小于0的自变量x的范围。为此，我们可以将y看作是x的一次函数，并解出使y<0的部分。
令y<0，即(frac{x-1}{x+1}<0)。
由于分母(x+1>0)，我们可以将不等式两边同乘以分母，得到：
(x - 1 < 0)
解这个不等式，得到：
(x < 1)
因此，当x的所有值都小于1时，函数值的y会小于0。所以，答案是D。
这份试卷涵盖了数学人教版七年级上册的一些基本概念和方法，包括但不限于整式运算、一元一次方程、几何初步知识等。在解决这些问题时，学生应灵活运用所学知识和技能，如代数运算、逻辑推理、空间想象等。同时，这份试卷还涉及了一些简单的应用问题，旨在培养学生解决问题的能力。
在完成这份试卷的过程中，学生可能会遇到一些挑战，比如如何选择合适的策略来解决复杂的问题，如何在有限时间内高效完成任务，这些都是学习过程中的宝贵经验。希望学生在练习中不断进步，提高自己的数学素养和综合能力。
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
下列算式中，计算结果等于2的是： A. (4 - 6) B. (-4 + 8) C. (frac{5}{7} × frac{7}{9}) D. (frac{1}{3} ÷ frac{1}{6})
在一个长方形中剪去一个小矩形后得到一个新的图形，这个新图形的周长是： A. 长方形的周长减去小矩形的两条边之和 B. 长方形的周长加上小矩形的两条边之和 C. 长方形的周长加或减去小矩形的两条边之和 D. 长方形的周长乘以小矩形的面积
如果a, b都是正整数，且满足条件(ab=5)，那么a+b的最大值是： A. 2 B. 5 C. 6 D. 无法确定
将一张正方形的纸对折两次后展开，如果得到的折痕互相平行或者重合，那么这张正方形的纸至少有以下哪几种折叠方法？ A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 以上都不正确
小明在做一个实验时，需要将一根绳子分成两段，其中一段的长度是另一段的(frac{1}{3})倍，设第一段绳子的长度为x米，则第二段绳子的长度为： A. (frac{1}{3} x)米 B. (x - frac{2}{3} x)米 C. (x + frac{2}{3} x)米 D. (2x)米
如图所示，ABCD是一个梯形，E是AB的中点，F是BC的中点，G是CD的中点，连接EG、FG，那么三角形EFG的形状是： A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
有甲乙两个水池，已知甲池中有水40吨，乙池中的水比甲池多20%，那么乙池中有水多少吨？ A. 48吨 B. 50吨 C. 52吨 D. 无法确定
关于方程(ax^2 + bx + c = 0)，以下哪个说法是不正确的？ A. a不能为零 B. 当ac < 0时，方程有两个不等的实根 C. b可以为任意实数 D. 方程总有解
若(m > n)，则下列不等式成立的是： A. (3m + 2n > m + 3n) B. (mn > m + n) C. (m - n > n - m) D. (m² + n² > mn)
设(y=frac{x-1}{x+1})，当(x)为何值时，(y)的值为负？ A. 所有大于-1且小于1的实数 B. 所有大于1或小于-1的实数 C. 所有大于-1的实数 D. 所有小于1的实数
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
若(a, b, c)为实数，且满足等式((a+b)^2+(c-1)^2=(a-b)^2+(c+1)^2)，则(a+c)的最小值为___。
把一张圆形的纸片对折一次，再沿一条直径所在的直线剪开，可以得到两个相同的半圆形纸片。如果其中一个半圆形纸片的半径是r厘米，那么另一个半圆形纸片的周长是___厘米。
有一个四位数abcd，其中d不为0，且满足关系式(a + d = b + c)。如果这个四位数的各位数字都相同，那么这个四位数是___。
对于任意的自然数n，定义一种运算“⊕”如下：(n ⊕ 1 = n + 1)，并规定(n ⊕ (k+1) = (n ⊕ k) + k)，那么(5 ⊕ 5)的结果是___。
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高线，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，那么∠ADE与∠EDC的关系是___。
三、解答题（共4小题，每小题10分，满分40分）
用简便方法计算：(2019^2 - 2018×2020)。
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，求证：OA·OC = OB·OD。
某班共有学生45名，在一次考试中，成绩优秀的学生占全班人数的(frac{2}{5})，及格的学生占剩下人数的(frac{1}{3})，不及格的人数是多少？
有一列数按照一定的规律排列成(1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5)……，根据这个规律，写出前2019个数中奇数项的总和。
四、附加题（共1小题，满分10分）
参考答案
A
0
相等
原式= 2019^2 - (2019 - 1)(2019 + 1) = 2019^2 - (2019^2 - 1) = 2019^2 - 2019^2 + 1 = 1
证明：在四边形ABCD中，因为AC和BD是对角线，所以它们被分为一组共边的四部分。
设AO = a，BO = b，CO = c，DO = d。
由于AO + CO = BO + DO，我们可以得出a + c = b + d。
现在考虑四边形ABCD的内接圆，它的半径R可以通过勾股定理来表示：
R^2 = OA^2 + OC^2 = AC^2 - AB^2 = AD^2 = BD^2 - BC^2 = OD^2 + OB^2
因此，我们得到了等式：R^2 = (a + c)^2 = (b + d)^2
简化这些表达式，我们得到：a + c = b + d。这与我们已经知道的事实一致，即a + c = b + d。
现在我们知道OA·OC = ac，OB·OD = bd。但是因为我们已经证明了a + c = b + d，这说明ac = bd，所以OA·OC = OB·OD。
我们证明了OA·OC = OB·OD。
根据题目信息，我们可以逐步计算出不及格的人数。
首先，成绩优秀的同学占总人数的(frac{2}{5})，这意味着剩下的学生占总人数的(frac{3}{5})。
接下来，及格的同学占剩余人数的(frac{1}{3})，这意味着不及格的同学占总人数的(frac{2}{3})。
最后，我们需要计算不及格的人数占总人数的比例。
不及格的人数比例 = (frac{2}{5} imes frac{2}{3}) = (frac{4}{15})
不及格的人数 = 总人数 * 不及格的人数比例 = 45 * (frac{4}{15}) = 3 * 45 = 135
因此，不及格的人数是135人。
这一系列数遵循的规律是每个新的奇数项重复它前面的偶数项的次数，直到下一个奇数项为止。
为了找到前2019个数中奇数项的总和，我们需要确定有多少个奇数项以及它们分别是多少。
第一个奇数项是第1个数，第二个奇数项是第3个数，依此类推，第2019个数将是奇数项。
奇数项的数量将是奇数个，因为第2019个数本身就是奇数项。
让我们找出奇数项的数量和它们的数值：
我们可以看到，从第1个奇数项开始，每一个奇数项的数值都增加1，而每次重复的次数也增加1。
如果我们继续这个模式到第2019个数，我们会发现：
现在我们来计算前2019个数中奇数项的总和：
奇数项的总和 = 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + … + 2019 = 1 + (2 + 19 + 37 + ... + 2019) = 1 + [2 + (19 + 18)] + (37 + 36 + 35 + ... + 32) + ... + (2019 + 2018 + ... + 2010) = 1 + [(2 + 19) × 10] + [(37 + 36) × 10] + ... + [(2019 + 2018) × 10] = 1 + 20 × 10 + 36 × 10 + ... + 4036 × 10 = 1 + 200 × 100 + 4036 × 10 = 1 + 2000 + 40360 = 42361
因此，前2019个数中奇数项的总和是42361。
证明：我们需要构造这样的质数p, q, r，使得pq + pr + pqr = N。我们将通过归纳法来证明这一点。
首先，对于最小的正整数N = 1，我们有质数2, 3, 5，使得2 × 3 + 3 × 5 + 2 × 3 × 5 = 1。这是我们的基础情况。
假设对于某个特定的正整数M，我们可以找到这样的质数p, q, r，使得pq + pr + pqr = M。
我们现在要证明对于M + 1也有同样的结论。
我们可以尝试将M分解为一个质数的三次幂的形式，即M = p^3，其中p是一个质数。
然后，我们取q = p，这样我们就有了两个质数p和q，使得pq = p^2 = M。
接下来，我们选择第三个质数r，使得r既不是p也不是q的因数。这是因为如果r也是p或q的因数，那么pr或qr将会包含质因子p或q的多余副本，这将导致pq + pr + pqr > M + 1。
既然r不是一个质数的三次幂，它必须能够被至少一个质数整除，而这个质数不是p也不是q。我们选择这样一个质数作为r。
在这种情况下，我们有：
pq + pr + pqr = M + 1 + M + 1 = M + 2
这就是我们所需要的，因为它表明了对于任何正整数M，都可以找到这样的质数p, q, r，使得pq + pr + pqr = M + 2。
结合基础情况和归纳步骤，我们证明了对于所有的正整数N，都存在三个不同的质数p, q, r，使得pq + pr + pqr = N。
试题解析
A. (4 - 6) = 2 - 4 = -2 B. (-4 + 8) = -4 + 8 = 4
显然，B的计算结果是4，符合题目要求。因此，答案是B。
在一个长方形中剪去一个小矩形后，新图形的周长取决于剪切的位置和方式。如果剪去的矩形位于一角，那么新图形的周长会是长方形的周长减去小矩形的两条边之和；如果剪去的矩形位于中间，那么新图形的周长会是长方形的周长加上小矩形的两条边之和。但题目没有明确剪切的细节，所以我们无法给出唯一确定的答案。因此，答案是C。
根据题目给出的条件(ab=5)，我们要找到a + b的最大值。由于a和b都是正整数，且a, b都不能为0（否则ab不可能等于5），我们可以从小到大依次尝试可能的组合。
当a=1时，b=5，此时a + b = 6。
我们可以看到，无论a取何值，b都必须与之配合才能使ab=5，而在这个过程中，我们不能让a + b超过6。因此，a + b的最大值是6，但由于a, b都是正整数，实际上只能达到6。所以，答案是A。
将一张正方形的纸对折两次后展开，如果得到的折痕互相平行或者重合，那么有两种可能的情况：一是第一次对折沿着一条轴对称的边进行，二是第二次对折沿着另一条轴对称的边进行。这两种情况下，都会产生互相垂直的折痕。因此，只需要将正方形沿着其对称轴对折两次，就可以实现要求的折叠效果。因此，答案是C。
根据题目描述，第一段绳子的长度为x米，第二段绳子的长度应该为x米的(frac{1}{3})倍，即(frac{x}{3})米。所以，答案是A。
在图中，由于E是AB的中点，F是BC的中点，G是CD的中点，我们可以知道三角形EFG的三条边分别对应着长方形ABCD的相应边的一半。由于长方形ABCD的四边相等，因此三角形EFG的三条边也相等，这就构成了等腰三角形的特征。因此，答案是A。
已知甲池的水量为40吨，乙池的水量比甲池多20%，即增加了40吨的20%，也就是增加了8吨。因此，乙池的水量是40吨 + 8吨 = 48吨。所以，答案是A。
对于方程(ax^2 + bx + c = 0)来说，只有当判别式(b^2 - 4ac)的值大于或等于0时，方程才有实根。因此，只要保证(b^2 - 4ac)的值非负，方程就有解。至于a是否可以为零，只需注意到如果a=0，方程就会变成(bx + c = 0)的形式，这仍然是二次方程的形式。因此，a可以为零。同样地，b可以为任意实数，因为这并不影响方程的形式。至于ac的符号，如果ac<0，那么(b^2 - 4ac)的值必然是非负的，因为平方操作总是会使结果变为非负。因此，无论b为何值，方程都会有解。答案是不正确的选项是C。
对于选项A，我们可以通过比较两边的大小来判断：
(3m + 2n > m + 3n)
移项得：
(3m - m > 3n - 2n)
合并同类项得：
(2m > n)
由于(m > n)，因此上述不等式确实是成立的。因此，答案是A。
对于函数(y=frac{x-1}{x+1})，我们需要找到使y值小于0的自变量x的范围。为此，我们可以将y看作是x的一次函数，并解出使y<0的部分。
令y<0，即(frac{x-1}{x+1}<0)。
由于分母(x+1>0)，我们可以将不等式两边同乘以分母，得到：
(x - 1 < 0)
解这个不等式，得到：
(x < 1)
因此，当x的所有值都小于1时，函数值的y会小于0。所以，答案是D。
补充说明
这份试卷涵盖了数学人教版七年级上册的一些基本概念和方法，包括但不限于整式运算、一元一次方程、几何初步知识等。在解决这些问题时，学生应灵活运用所学知识和技能，如代数运算、逻辑推理、空间想象等。同时，这份试卷还涉及了一些简单的应用问题，旨在培养学生解决问题的能力。
在完成这份试卷的过程中，学生可能会遇到一些挑战，比如如何选择合适的策略来解决复杂的问题，如何在有限时间内高效完成任务，这些都是学习过程中的宝贵经验。希望学生在练习中不断进步，提高自己的数学素养和综合能力。